Question

已知函數f（x）=asinx-x+b（a，b均為正常數）．
（1）若a=2，求函數f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調減區(qū)間；
（2）設函數在處有極值．
①對于一切，不等式恒成立，求b的取值范圍；
②若函數f（x）在區(qū)間上是單調增函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）a=2時，函數f（x）=2sinx-x+b，求導函數可得：f′（x）=2cosx-1
令f′（x）＜0，可得cosx＜
∵x∈[0，π]，∴
∴函數的單調減區(qū)間為
（2）f′（x）=acosx-1，由已知得：，所以a=2，所以f（x）=2sinx-x+b
①不等式可化為：sinx-cosx-x＞-b
記函數g（x）=sinx-cosx-x，
，所以，g′（x）＞0
函數在上是增函數，最小值為g（0）=-1
所以b＞1，
所以b的取值范圍是（1，+∞）
②由得：，所以m＞0
令f′（x）=2cosx-1＞0，可得2kπ-＜x＜2kπ+，k∈Z
∵函數f（x）在區(qū)間上是單調增函數，
∴且
∴6k≤m≤3k+1
∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1
∴k=0
∴0＜m≤1
分析：（1）a=2時，函數f（x）=2sinx-x+b，求導函數可得：f′（x）=2cosx-1，令f′（x）＜0，結合x∈[0，π]，可得函數的單調減區(qū)間；
（2）f′（x）=acosx-1，利用函數在處有極值，可得f（x）=2sinx-x+b
①不等式可化為：sinx-cosx-x＞-b，構造函數g（x）=sinx-cosx-x，，求出函數的最小值，即可求得b的取值范圍；
②由得：，所以m＞0，求出的單調增區(qū)間，利用函數f（x）在區(qū)間上是單調增函數，即可求得m的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值、單調區(qū)間，考查分離參數法求解恒成立問題，正確運用導數是關鍵．