Question

設(shè)常數(shù)a使方程sinx+

3

cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]上恰有三個(gè)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，畫出函數(shù)y=2sin（x+

π

3

）的圖象，方程的解即為直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)，在[0，2π]上，當(dāng)a=

3

時(shí)，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而求得此時(shí)x₁，x₂，x₃最后相加即可．

解答： 解：sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

）=a，
如圖方程的解即為直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)，在[0，2π]上，當(dāng)a=

3

時(shí)，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，
令sin（x+

π

3

）=

3

2

，x+

π

3

=2kπ+

π

3

，即x=2kπ，或x+

π

3

=2kπ+

2π

3

，即x=2kπ+

π

3

，
∴此時(shí)x₁=0，x₂=

π

3

，x₃=2π，
∴x₁+x₂+x₃=0+

π

3

+2π=

7π

3

．
故答案為：

7π

3

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，較為直觀的解決問題．