①④
分析:對照新定義,構造新函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),利用導數(shù)的方法確定函數(shù)的單調(diào)性,從而確定函數(shù)的值域,利用若對任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)和g(x)在D上是“密切函數(shù)”,即可得到結論.
解答:①f(x)=x
2-x+1,g(x)=3x-2
設h(x)=f(x)-g(x)=x
2-4x+3
h(x)在[1,2]上單調(diào)減,在[2,3]上單調(diào)增
∴h(x)的最大值為0,最小值為-1
∴對任意的x∈[1,3],都有|f(x)-g(x)|≤1,符合定義
②f(x)=x
3+x,g(x)=3x
2+x-1
設h(x)=f(x)-g(x)=x
3+3x
2+1
h′(x)=3x
2+6x,x∈[1,3],h′(x)>0
h(x)在[1,3]上單調(diào)增
∴h(x)的最大值為55,最小值為5,
∴對任意的x∈[1,3],|f(x)-g(x)|≤1不成立,不符合定義
③f(x)=log
2(x+1),g(x)=3-x
設h(x)=f(x)-g(x)=log
2(x+1)+x-3
h(x)在[1,3]上單調(diào)增
∴h(x)的最大值為2,最小值為-1,
∴對任意的x∈[1,3],|f(x)-g(x)|≤1不成立,不符合定義
④f(x)=
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sin(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
),g(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
cos
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2005.png)
sin
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x
設h(x)=f(x)-g(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
sin(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)-[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
cos
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2005.png)
sin
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x]
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
sin(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
cos(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
)
=sin(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)
∵x∈[1,3],∴sin(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
)∈[-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,1]
∴對任意的x∈[1,3],都有|f(x)-g(x)|≤1,符合定義
故答案為:①④
點評:本題主要考查了新定義題,主要涉及了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值求法等,同時考查計算能力,屬于中檔題.