Question

對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若存在函數(shù)h（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），對(duì)任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的x₀∈D，使得當(dāng)x∈D且x＞x₀時(shí)，總有

0＜f(x)-h(x)＜m 0＜h(x)-g(x)＜m

，則稱直線l：y=kx+b為曲線y=f（x）和y=g（x）的“分漸近線”．給出定義域均為D={x|x＞1}的四組函數(shù)如下：
①f（x）=x²，g（x）=

x

； 
②f（x）10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

；
③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

；  
④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲線y=f（x）和y=g（x）存在“分漸近線”的是

②④

．

Answer 1

分析：題目給出了具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若存在函數(shù)h（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），對(duì)任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的x₀∈D，使得當(dāng)x∈D且x＞x₀時(shí)，總有

0＜f(x)-h(x)＜m 0＜h(x)-g(x)＜m

，則稱直線l：y=kx+b為曲線y=f（x）和y=g（x）的“分漸近線”．當(dāng)給定的正數(shù)m無(wú)限小的時(shí)候，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)h（x）=kx+b的圖象的上方且無(wú)限靠近直線，函數(shù)g（x）的圖象在函數(shù)h（x）=kx+b的圖象的下方且無(wú)限靠近直線，說(shuō)明f（x）和g（x）存在分漸近線的充要條件是x→∞時(shí)，f（x）-g（x）→0．對(duì)于第一組函數(shù)，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=x2-

x

，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)后說(shuō)明函數(shù)F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，不滿足x→∞時(shí)，f（x）-g（x）→0；對(duì)于第二組函數(shù)，直接作差后可看出滿足x→∞時(shí)，f（x）-g（x）→0；對(duì)于第三組函數(shù)，作差后得到差式為

1

x

-

1

lnx

，結(jié)合函數(shù)y=x和y=lnx圖象的上升的快慢，說(shuō)明當(dāng)x＞1時(shí)，為

1

x

-

1

lnx

為負(fù)值且逐漸減小；第四組函數(shù)作差后，可直接看出滿足x→∞時(shí)，f（x）-g（x）→0．由以上分析可以得到正確答案．

解答：解：f（x）和g（x）存在分漸近線的充要條件是x→∞時(shí)，f（x）-g（x）→0．
對(duì)于①f（x）=x²，g（x）=

x

，當(dāng)x＞1時(shí)，令F（x）=f（x）-g（x）=x2-

x

由于F′(x)=2x-

1

2 x

＞0，所以h（x）為增函數(shù)，不符合x→∞時(shí)，f（x）-g（x）→0，所以①不存在；
對(duì)于②f（x）=10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

f（x）-g（x）=10-x+2-

2x-3

x

=(

1

10

)x+

3

x

，
因?yàn)楫?dāng)x＞1且x→∞時(shí)，f（x）-g（x）→0，所以存在分漸近線；
對(duì)于③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

，
f（x）-g（x）=

x2+1

x

-

xlnx+1

lnx

=x+

1

x

-x-

1

lnx

=

1

x

-

1

lnx

當(dāng)x＞1且x→∞時(shí)，

1

x

與

1

lnx

均單調(diào)遞減，但

1

x

的遞減速度比

1

lnx

快，
所以當(dāng)x→∞時(shí)f（x）-g（x）會(huì)越來(lái)越小，不會(huì)趨近于0，
所以不存在分漸近線；
對(duì)于④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x），當(dāng)x→∞時(shí)，
f（x）-g（x）=

2x2

x+1

-2x+2+2e-x
=

2x2-2x2-2x+2x+2

x+1

+2e-x
=

2

x+1

+

2

ex

→0，
因此存在分漸近線．
故存在分漸近線的是②④．
故答案為②④．

點(diǎn)評(píng)：本題從大學(xué)數(shù)列極限定義的角度出發(fā)，仿造構(gòu)造了分漸近線函數(shù)，目的是考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考生需要抓住本質(zhì)：存在分漸近線的充要條件是x→∞時(shí)，f（x）-g（x）→0進(jìn)行作答，是一道好題，思維靈活，要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)．