【題目】已知函數(shù)f(x)=
(Ⅰ)若a=﹣1,證明:函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x﹣y=0平行,求a的值;
(Ⅲ)若x>0,證明: (其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).

【答案】解:(Ⅰ)當(dāng)a=﹣1時,f(x)=
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?,0)∪(0,+∞),
∴f′(x)= ,
設(shè)g(x)=x﹣(x+1)ln(x+1),
∴g′(x)=1﹣[ln(x+1)+1]=﹣ln(x+1),
∴g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
∴g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
∴g(x)<g(0)=0,
∴f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).
(Ⅱ)∵f′(x)= ,
∴k=f′(1)=
∵y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x﹣y=0平行
=1,
即ln(1﹣a)= ,分別畫出y=ln(1﹣x)與y= 的圖象,
又圖象可知交點(diǎn)為(0,0)
∴解得a=0.
(Ⅲ):∵ = = ,
= ,
由(Ⅰ)知,當(dāng)a=﹣1時,f(x)= 在(0,+∞)上為減函數(shù),
故要證原不等式成立,只需要證明:當(dāng)x>0時,x<ex﹣1,
令h(x)=ex﹣1﹣x,
則h′(x)=ex﹣1>0,
∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
∴h(x)>h(0)=0,即x<ex﹣1,
∴f(x)>f(ex﹣1)


【解析】(Ⅰ) 先求導(dǎo),得到f′(x)= ,再構(gòu)造函數(shù)g(x)=x﹣(x+1)ln(x+1),求出g(x)的最大值為0,繼而得到f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,問題得以證明;(Ⅱ)欲求a的值,根據(jù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率,解方程即可得;(Ⅲ) = ,由(Ⅰ)的結(jié)論,故要證原不等式成立,只需要證明:當(dāng)x>0時,x<ex﹣1,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可證明.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】高考復(fù)習(xí)經(jīng)過二輪“見多識廣”之后,為了研究考前“限時搶分”強(qiáng)化訓(xùn)練次數(shù)與答題正確率﹪的關(guān)系,對某校高三某班學(xué)生進(jìn)行了關(guān)注統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):

1

2

3

4

20

30

50

60

(1)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測答題正確率是100﹪的強(qiáng)化訓(xùn)練次數(shù);

(2)若用表示統(tǒng)計數(shù)據(jù)的“強(qiáng)化均值”(精確到整數(shù)),若“強(qiáng)化均值”的標(biāo)準(zhǔn)差在區(qū)間內(nèi),則強(qiáng)化訓(xùn)練有效,請問這個班的強(qiáng)化訓(xùn)練是否有效?

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:

,

樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為:.

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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的短軸長為2,離心率e=
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,與圓x2+y2= 相切于點(diǎn)M.
(i)證明:OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn));
(ii)設(shè)λ= ,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f′(x),對任意的x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2 , 且x∈(0,+∞)時,f′(x)>x.若f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
A.[1,+∞)
B.(﹣∞,1]
C.(﹣∞,2]
D.[2,+∞)

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【題目】設(shè),,其中是不等于零的常數(shù)。

(1)寫出的定義域;

(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間;

(3)已知函數(shù),定義:,.其中,表示函數(shù)上的最小值,表示函數(shù)上的最大值.例如:,,則,,,,當(dāng)時,設(shè),不等式恒成立,求,的取值范圍.

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【題目】設(shè)0<a<1,已知函數(shù)f(x)= ,若對任意b∈(0, ),函數(shù)g(x)=f(x)﹣b至少有兩個零點(diǎn),則a的取值范圍是(
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖ABCD是平面四邊形,∠ADB=∠BCD=90°,AB=4,BD=2.
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(Ⅱ)若∠ACD=30°,求tan∠BDC的值.

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(1)求的值;

(2)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(3)設(shè)函數(shù),且在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的長軸與短軸之和為6,橢圓上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn), 的距離之和為4.

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