Question

已知函數f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=1nx．
（1）若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點M，N，求a的取值范圍；
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數y=g（x）圖象上的兩點．平行于AB的切線以 P（x₀，y₀）為切點，求證：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）通過等價轉化把問題轉化為：函數y=a與y=

x+lnx

x2

的圖象有兩個不同的交點，進而通過導數法分析函數y=

x+lnx

x2

得結論．
（2）利用某點處的切線斜率等于其導數值得特點建立關系式，通過作差法構造函數來比較大�。�

解答：解：（1）函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點?方程f（x）=g（x）有兩個不等的實根
?ax²-x=1nx有兩個不等的實根?a=

x+lnx

x2

有兩個不等的實根
?函數y=a與y=

x+lnx

x2

的圖象有兩個不同的交點．
令r（x）=

x+lnx

x2

，則r′（x）=

( 1 x +1)x2-2x(x+lnx)

x4

=

1-x-2lnx

x3

當0＜x＜1時，r′（x）＞0，則r（x）單調遞增，且r（e^-1）=

-1+e-1

e-2

＜0，
當x＞1時，r′（x）＜0，則r（x）單調遞減，且

x+lnx

x2

＞0，
所以r（x）在x=1處取到最大值r（1）=1
所以要使函數y=a與y=

x+lnx

x2

的圖象有兩個不同的交點．只需0＜a＜1
（2）由已知：過點P的切線的斜率為k=

1

x0

=

y1-y2

x1-x2

，所以x0=

x1-x2

y1-y2

x0-x1=

x1-x2

y1-y2

-x1=

x2-x1-x1(y2-y1)

y2-y1

=

x2-x1-x1ln x2 x1

ln x2 x1

設t=

x2

x1

得x0-x1=

x1(t-1-lnt)

lnt

(t＞1)，構造函數y=t-1-lnt，
當t≥1時，y′=1-

1

t

=

t-1

t

≥0，所以函數y=t-1-lnt在t≥1時是增函數．
于是t＞1時，t-1-lnt＞0，則x₀-x₁＞0即x₀＞x₁成立．
同理可證x₂＞x₀成立．
故有x₁＜x₀＜x₂．

點評：本題為函數與導數的綜合應用，構造函數利用導數研究其特性是解決問題的關鍵，屬中檔題．