Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形與矩形所在平面互相垂直，分別為的中點(diǎn)，．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）存在，

【解析】

試題分析：（I）由面面垂直的性質(zhì)定理可直接證得。（Ⅱ）將轉(zhuǎn)化為的中點(diǎn)，利用中位線證∥，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證MN∥平面CDFE。（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)P使AP⊥MN，由（I）易得所以。（Ⅲ）由逆向思維可知只需證得，因?yàn)?/span>，即可證得AP⊥MN。由相似三角形的相似比即可求得FP。

試題解析：（I）因?yàn)?/span>為正方形，所以。

因?yàn)槠矫?/span>,,，所以.

（Ⅱ）連結(jié)

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，且為矩形，所以也是的中點(diǎn)。因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)?/span>,所以MN∥平面CDFE。

（Ⅲ）過點(diǎn)作交線段于點(diǎn),則點(diǎn)即為所求。因?yàn)?/span>ABCD為正方形，所以∥。因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>,所以。因?yàn)?/span>，且，所以,因?yàn)?/span>,所以。因?yàn)?/span>與相似，所以,因?yàn)?/span>，所以。