Question

【題目】大氣污染是我國(guó)目前最突出的環(huán)境問(wèn)題之一，其中工廠(chǎng)廢氣是大氣污染的重大污染源之一。工廠(chǎng)廢氣未經(jīng)凈化處理排放至空氣中，除了對(duì)空氣質(zhì)量造成嚴(yán)重破壞，還會(huì)對(duì)人體的健康造成重大威脅。長(zhǎng)期生活在污染的空氣中，生活質(zhì)量及身體健康將急劇下降。某工廠(chǎng)因?yàn)槲廴締?wèn)題需改進(jìn)技術(shù)，2019年初購(gòu)進(jìn)一臺(tái)環(huán)保新機(jī)器投入生產(chǎn)，機(jī)器的成本價(jià)為36萬(wàn)元，第年該機(jī)器包括維修費(fèi)和機(jī)器護(hù)理費(fèi)用在內(nèi)，每年另需投人費(fèi)用萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)該機(jī)器后每年盈利20萬(wàn)元．

（1）問(wèn)該機(jī)器投入生產(chǎn)第幾年，工廠(chǎng)開(kāi)始盈利（即總收入大于所有投人的費(fèi)用）?

（2）由于機(jī)器使用年限越大維修等費(fèi)用越高，所以工廠(chǎng)決定當(dāng)年平均利潤(rùn)最大時(shí)將該機(jī)器以5萬(wàn)元低價(jià)處理，問(wèn)使用該機(jī)器幾年后工廠(chǎng)年平均利潤(rùn)最大?此時(shí)工廠(chǎng)獲得的總利潤(rùn)為多少?

Answer 1

【答案】（1）3

（2）經(jīng)過(guò)6年后年平均利潤(rùn)最大，工廠(chǎng)獲得的總利潤(rùn)為萬(wàn)元

【解析】

（1）根據(jù)題意求得總收入減去機(jī)器成本和每年的額外投入費(fèi)用之和，即為盈利的表達(dá)式，解不等式即可確定開(kāi)始盈利的時(shí)間.

（2）根據(jù)（1）中盈利表達(dá)式，即可求得年平均利潤(rùn)的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可確定年平均利潤(rùn)最大及總利潤(rùn).

（1）設(shè)引進(jìn)該機(jī)器第年開(kāi)始盈利，盈利為y元，

則

由，得．

解得，

即引進(jìn)該機(jī)器第3年，工廠(chǎng)開(kāi)始盈利．

（2）①平均盈利為，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，

所以引進(jìn)該機(jī)器經(jīng)過(guò)6年后年平均利潤(rùn)最大，

工廠(chǎng)獲得的總利潤(rùn)為萬(wàn)元．