Question

（本題滿分14分）．已知函數(shù)．

（1）當時，函數(shù)取得極大值，求實數(shù)的值；

（2）已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)存在唯一，使得．設(shè)函數(shù)（其中），證明：對任意，都有；

（3）已知正數(shù)滿足，求證：對任意的實數(shù)，若時，都有．

 

Answer 1

（1）；

（2）令，

則．

因為函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則根據(jù)結(jié)論可知：存在使得．

又，

當時，，從而單調(diào)遞增，；

當時，，從而單調(diào)遞減，；

故對任意，都有．

（3）因為且，，

同理，

由（Ⅱ）知對任意，都有，從而

．

【解析】

試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求出的值，再將的值代入原函數(shù)，可得其導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0和導(dǎo)函數(shù)小于0，可分別判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而確定函數(shù)在處取得極大值；（2）構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)后得到，由已知函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則存在使得．又，則求出，然后在，內(nèi)的符號判斷其單調(diào)性，從而說明對任意，都有；（3）根據(jù)已知條件利用作差法得到，然后結(jié)合第（2）問的結(jié)論即可得出答案．

試題解析：(1)由題設(shè)，函數(shù)的定義域為，且

所以，得，此時．

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

函數(shù)在處取得極大值，故．

（2）令，

則．因為函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則根據(jù)結(jié)論可知：存在使得．

又，

當時，，從而單調(diào)遞增，；

當時，，從而單調(diào)遞減，；

故對任意，都有．

（3）因為且，，

同理，

由（Ⅱ）知對任意，都有，從而

．

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．