Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對定義域每的任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：對于任意正整數(shù)，不等式恒成立。

Answer 1

【答案】. 。

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，故此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)， 的變化情況如下表：

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，同可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。

（Ⅱ）由于，顯然當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)對定義域每的任意不是恒成立的，

當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1），函數(shù)在區(qū)間的極小值、也是最小值即是，此時(shí)只要即可，解得，故得實(shí)數(shù)的取值范圍是。

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)， ，等號當(dāng)且僅當(dāng)成立，這個(gè)不等式即，當(dāng)時(shí)，可以變換為，

在上面不等式中分別令，

所以

【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和極值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，對求導(dǎo)， 的根為a和1，比較a和1的大小，分四種情況分別判斷的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性；第二問，由，當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上取得最小值為，由最小值大于等于0求得a的取值范圍；第三問，結(jié)合第二問的結(jié)論，知時(shí)， 恒成立，即，再利用不等式的累加得到結(jié)論．

試題解析：（1）

當(dāng)時(shí)， 在上遞減，在上遞增

當(dāng)時(shí)， 在， 上遞增，在上遞減

當(dāng)時(shí)， 在上遞增

當(dāng)時(shí)， 在， 上遞增， 上遞減

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)， 不恒成立

綜上：

（3）由（2）知時(shí)， 恒成立

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)以“=”

時(shí)，

……