Question

【題目】某校在高二年級實(shí)行選課走班教學(xué)，學(xué)校為學(xué)生提供了多種課程，其中數(shù)學(xué)科提供5種不同層次的課程，分別稱為數(shù)學(xué)1、數(shù)學(xué)2、數(shù)學(xué)3、數(shù)學(xué)4、數(shù)學(xué)5，每個(gè)學(xué)生只能從這5種數(shù)學(xué)課程中選擇一種學(xué)習(xí)，該校高二年級1800名學(xué)生的數(shù)學(xué)選課人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：

課程	數(shù)學(xué)1	數(shù)學(xué)2	數(shù)學(xué)3	數(shù)學(xué)4	數(shù)學(xué)5	合計(jì)
選課人數(shù)	180	540	540	360	180	1800

為了了解數(shù)學(xué)成績與學(xué)生選課情況之間的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這1800名學(xué)生中抽取了10人進(jìn)行分析．
（1）從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的概率；
（2）從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中選擇數(shù)學(xué)2的人數(shù)為X，選擇數(shù)學(xué)1的人數(shù)為Y，設(shè)隨機(jī)變量ξ=X﹣Y，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：從選出的10名學(xué)生中選修數(shù)學(xué)1的人應(yīng)為10× =1人，選修數(shù)學(xué)2的人應(yīng)為10× =3人，選修數(shù)學(xué)3的人應(yīng)為10× =3人，選修數(shù)學(xué)4的人應(yīng)為10× =1人，選修數(shù)學(xué)1的人應(yīng)為10× =1人．

從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人共有 =120種選法，選出的這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的有 + =22種

，∴這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的概率P= =

（2）解：X的可能取值為0，1，2，3．Y的可能取值為0，1．ξ的可能取值為﹣1，0，1，2，3．

P（ξ=﹣1）=P（X=0，Y=1）= = ．

P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）= = ．

P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）= = ．

P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）= = ．

P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）= = ．ξ的分布列為：

ξ	﹣1	0	1	2	3
P

∴Eξ=﹣1× +0× +1× +2× +3× =

【解析】（1）從選出的10名學(xué)生中選修數(shù)學(xué)1的人應(yīng)為10× =1人，同理可得選修數(shù)學(xué)2的人應(yīng)為3人，選修數(shù)學(xué)3的人應(yīng)為3人，選修數(shù)學(xué)4的人應(yīng)為1人，選修數(shù)學(xué)1的人應(yīng)為1人．從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人共有 =120種選法，選出的這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的有 + =22種，即可得出這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的概率P．（2）X的可能取值為0，1，2，3．Y的可能取值為0，1．ξ的可能取值為﹣1，0，1，2，3．P（ξ=﹣1）=P（X=0，Y=1）= ，P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）= ．P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）= ．P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）= ．P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）= ．即可得出ξ的分布列及其Eξ．