【題目】如圖所示，在長方體中，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)F，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②對(duì)于棱上任意一點(diǎn)E，在棱上均有相應(yīng)的點(diǎn)G，使得平面；

③O為底面對(duì)角線和的交點(diǎn)，在棱上存在點(diǎn)H，使平面；

④存在唯一的點(diǎn)E，使得截面四邊形的周長取得最小值.

其中為真命題的是____________________.（填寫所有正確答案的序號(hào)）

【答案】①③④

【解析】

①將四棱錐轉(zhuǎn)化為2個(gè),進(jìn)而求解判斷即可；②找到反例即可；③利用中位線證明即可；④將四邊形的周長的最值轉(zhuǎn)化為的最值,進(jìn)而求解即可

①,

又三棱錐為三棱錐,則底面不變,且因?yàn)?/span>平面,故點(diǎn)到底面的距離即三棱錐底面的高不變,故三棱錐的體積不變,所以四棱錐的體積不變,恒為定值,故①正確；

②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí),總有與平面相交,故②錯(cuò)誤；

③由O為底面對(duì)角線和的交點(diǎn),則,設(shè)為的中點(diǎn),則在中,所以平面,故③正確；

④四邊形的周長為,則分析即可,將矩形沿著展開使得在延長線上時(shí),此時(shí)的位置設(shè)為,則線段與的交點(diǎn)即為截面平行四邊形的周長取得最小值時(shí)唯一點(diǎn),故④正確；

故答案為:①③④

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱柱中，，側(cè)面底面，D是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是給定的平面向量，且為非零向量，關(guān)于的分解，有如下個(gè)命題：

① 給定向量，總存在向量，使得；

② 給定不共線向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使得；

③ 給定向量和整數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使得；

④ 給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使得；

若上述命題中的向量在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則其中真命題的序號(hào)為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲乙二人輪流擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，甲先擲.規(guī)定：若甲擲出1點(diǎn)，則由甲繼續(xù)擲，否則下一次由乙擲；若乙擲出3點(diǎn)，則由乙繼續(xù)擲，否則下一次由甲擲，兩人始終按此規(guī)則進(jìn)行.記第次由甲擲的概率為，則______，______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸x（mm）之間近似滿足關(guān)系式（b、c為大于0的常數(shù)）．按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品．現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

尺寸x（mm）

38

48

58

68

78

88

質(zhì)量y (g)

16.8

18.8

20.7

22.4

24

25.5

質(zhì)量與尺寸的比

0.442

0.392

0.357

0.329

0.308

0.290

（Ⅰ）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量的分布列和期望；

（Ⅱ）根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

75.3

24.6

18.3

101.4

（�。└鶕�(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程；

（ⅱ）已知優(yōu)等品的收益（單位：千元）與的關(guān)系為，則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸x為何值時(shí)，收益的預(yù)報(bào)值最大？（精確到0.1）

附：對(duì)于樣本 ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在我國，大學(xué)生就業(yè)壓力日益嚴(yán)峻，伴隨著政府政策引導(dǎo)與社會(huì)觀念的轉(zhuǎn)變，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)意識(shí)，就業(yè)方向也悄然發(fā)生轉(zhuǎn)變.某大學(xué)生在國家提供的稅收，擔(dān)保貸款等很多方面的政策扶持下選擇加盟某專營店自主創(chuàng)業(yè)，該專營店統(tǒng)計(jì)了近五年來創(chuàng)收利潤數(shù)（單位：萬元）與時(shí)間（單位：年）的數(shù)據(jù)，列表如下：

（Ⅰ）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（計(jì)算結(jié)果精確到）.（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

附：相關(guān)系數(shù)公式

參考數(shù)據(jù).

（Ⅱ）該專營店為吸引顧客，特推出兩種促銷方案.

方案一：每滿元可減元；

方案二：每滿元可抽獎(jiǎng)一次，每次中獎(jiǎng)的概率都為，中獎(jiǎng)就可以獲得元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立.

①某位顧客購買了元的產(chǎn)品，該顧客選擇參加兩次抽獎(jiǎng)，求該顧客獲得元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)的概率.

②某位顧客購買了元的產(chǎn)品，作為專營店老板，是希望該顧客直接選擇返回元現(xiàn)金，還是選擇參加三次抽獎(jiǎng)？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（Ⅱ）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為1的正四面體ABCD中，M，N分別為棱AB和CD的中點(diǎn)，一個(gè)平面分別與棱BC，BD，AD，AC交于E，F，G，H，且MN⊥平面EFGH.給出下列六個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD，②AB//平面EFGH，③平面ABC⊥平面EFGH，④四邊形EFGH的周長為定值；⑤四邊形EFGH的面積有最大值；⑥四邊形EFGH一定是矩形，其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）求在上的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：在上存在最小值.

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