Question

探究函數(shù)f(x)=x+

4

x

，x∈(-∞，0)的最大值，并確定取得最大值時(shí)x的值．列表如下：

x	…	-0.5	-1	-1.5	-1.7	-1.9	-2	-2.1	-2.2	-2.3	-3	…
y	…	-8.5	-5	-4.17	-4.05	-4.005	-4	-4.005	-4.02	-4.04	-4.3	…

請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問(wèn)題．
（1）函數(shù)f(x)=x+

4

x

，x∈(-∞，0)在區(qū)間

 

上為單調(diào)遞增函數(shù)．當(dāng)x=

 

時(shí)，f（x）_最大=

 

．
（2）證明：函數(shù)f(x)=x+

4

x

在區(qū)間（-2，0）為單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）思考：函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時(shí)x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)f(x)=x+

4

x

，x∈(-∞，0)為對(duì)勾函數(shù)的左支，根據(jù)已知中的表格中的數(shù)據(jù)，我們易判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值；
（2）取區(qū)間（-2，0）上的任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂．根據(jù)函數(shù)f(x)=x+

4

x

，x∈(-∞，0)，我們判斷出f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到結(jié)論．
（3）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)f(x)=x+

4

x

為奇函數(shù)，由（1），（2）的結(jié)論，我們易得函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)有最小值，也易得到x為何值時(shí)函數(shù)取最值．

解答：解：（1）（-∞，-2）；（2分）
當(dāng)x=-2時(shí)f（x）_最大=-4．（4分）
（2）證明：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間，（-2，0）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=x1-x2+

4

x1

-

4

x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

（8分）
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（-2，0）
∴0＜x₁x₂＜4
∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴函數(shù)在（-2，0）上為減函數(shù)．（12分）
（3）思考：f(x)=x+

4

x

(x＞0)，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_最小=4（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，其中熟練掌握對(duì)勾函數(shù)f(x)=x+

t

x

，(t＞0)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．