Question

（1）已知cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求cos

α+β

2

值．
（2）計算tan70°cos10°（

3

tan20°-1）．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關系的運用,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由α與β的范圍，確定出α-

β

2

與

α

2

-β的范圍，進而求出sin（α-

β

2

）與cos（

α

2

-β），原式中的角度變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值人計算即可求出值；
（2）原式利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，再利用誘導公式變形，約分即可得到結果．

解答： 解：（1）∵

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，
∴α-

β

2

∈（

π

4

，π），

α

2

-β∈（-

π

4

，

π

2

），
∵cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，
∴sin（α-

β

2

）=

5

9

，cos（

α

2

-β）=

5

3

，
則cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

；
（2）原式=

sin70°

cos70°

•cos10°•

3 sin20°-cos20°

cos20°

=

sin70°

cos70°

•cos10°•

2sin(20°-30°)

cos20°

=

cos20°

cos70°

•cos10°•

-2sin10°

cos20°

=

-sin20°

sin20°

=-1．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．