Question

已知cosα=

1

7

，cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，
（1）求tanα的值；
（2）求β．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）通過α、β的范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出sinα，然后求出tanα．
（2）求出α-β的范圍，然后求出sinα，sin（α-β）的值，即可求解cosβ．然后求出β值．

解答： 解：（1）因?yàn)閏osα=

1

7

，cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，∴α-β＞0
所以sinα=

1-( 1 7 )2

=

4 3

7

，
∴tanα=

sinα

cosα

=

4 3 7

1 7

=4

3

；
（2）cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，∴α-β＞0，
α-β∈（0，

π

2

），
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

1-( 13 14 )2

=

3 3

14

，
cosβ=cos[（α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

1

7

×

13

14

+

3 3

14

×

4 3

7

=

1

2

，
∵0＜β＜α＜

π

2

，∴β=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查角的變化技巧，考查計(jì)算能力．