記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使得f(x)＝x成立，則稱(x0，x0)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”．

(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)？若存在，求出范圍；若不存在，請說明理由．

(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，求證：函數(shù)必有奇數(shù)個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)．

答案：
解析：

　　(1)解：設(shè)函數(shù)f(x)＝的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)，

　　則f(x)＝＝x，

　　即有兩個(gè)相異的根，

　　所以

　　解之，得a＞5或a＜1，a≠－．

　　因此存在a∈(－∞，－)∪(－，1)∪(5，＋∞)使得函數(shù)f(x)＝的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn);

　　(2)證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

　　所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0．

　　因此(0，0)是f(x)的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)．

　　假設(shè)函數(shù)還有穩(wěn)定點(diǎn)(x0，x0)，

　　即f(x0)＝x0，則必定有f(－x0)＝－x0．

　　這說明(－x0，－x0)也是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)．

　　綜上所述，奇函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)除原點(diǎn)外，都是成對出現(xiàn)，因此其穩(wěn)定點(diǎn)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江蘇省高一第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（滿分16分）

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在，使成立，則稱以為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖象上的不動點(diǎn)。

（1）若函數(shù)的圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn)，求應(yīng)滿足的條件；

（2）下述結(jié)論“若定義在Ｒ上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動點(diǎn)，則不動點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使得f(x)=x成立，則稱(x0，x0)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.

(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)= 的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)?若存在，求出范圍；若不存在，請說明理由.

(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，求證:函數(shù)必有奇數(shù)個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（滿分16分）記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在，使成立，則稱以為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖象上的不動點(diǎn)。

（1）若函數(shù)的圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn)，求應(yīng)滿足的條件；

（2）下述結(jié)論“若定義在Ｒ上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動點(diǎn)，則不動點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（滿分16分）記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在，使成立，則稱以為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖象上的不動點(diǎn)。

（1）若函數(shù)的圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn)，求應(yīng)滿足的條件；

（2）下述結(jié)論“若定義在Ｒ上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動點(diǎn)，則不動點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明。

（請將解答寫在規(guī)定的區(qū)域，寫在其它區(qū)域的不得分。）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（滿分16分）記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在，使成立，則稱以為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖象上的不動點(diǎn)。

（1）若函數(shù)的圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn)，求應(yīng)滿足的條件；

（2）下述結(jié)論“若定義在Ｒ上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動點(diǎn)，則不動點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明。

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