Question

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在x₀∈D，使得f(x)=x成立，則稱(x₀，x₀)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.

(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)= 的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)?若存在，求出范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，求證:函數(shù)必有奇數(shù)個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).

Answer 1

(1)解:設(shè)函數(shù)f(x)= 的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn)，

則f(x)= =x，

即有兩個(gè)相異的根，

所以

解之，得a＞5或a＜1，a≠-.

因此存在a∈（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞）使得函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn).

(2)證明:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.

因此(0，0)是f(x)的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).

假設(shè)函數(shù)還有穩(wěn)定點(diǎn)(x₀，x₀)，

即f(x₀)=x₀，則必定有f(-x₀)=-x₀.

這說(shuō)明(-x₀，-x₀)也是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).

綜上所述，奇函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)除原點(diǎn)外，都是成對(duì)出現(xiàn)，因此其穩(wěn)定點(diǎn)的個(gè)數(shù)是奇數(shù).