Question

單調(diào)遞減的等比數(shù)列{a_n}中，a₄=

1

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且

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中項(xiàng)先求得公比，再有a₄=

1

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求得首項(xiàng)；
（Ⅱ）利用等差數(shù)列的求和公式寫(xiě)出前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：

5

4

a2是a₁，a₃的等差中項(xiàng)，故a1+a3=2.5a2⇒a1+a1q2=2.5a1q
化簡(jiǎn)得到1+q2=2.5q⇒q=

1

2

或q=2(舍)，而a4=

1

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=a1q3⇒a1=

1

2

．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

(n∈N*)
（Ⅱ）由（I）得bn=log2an=log22-n=-n，
∴{b_n}是一個(gè)等差數(shù)列，
故Tn=

n(-1+-n)

2

=-

1

2

n2-

1

2

n．(n∈N*)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式及其應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題．