Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立，記（n∈N*），
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記C_n=b_2n-b_2n-1（n∈N*），設(shè)數(shù)列{C_n}的前n和為T(mén)_n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n等于1代入a_n=5S_n+1中，即可求出首項(xiàng)a₁，然后把n換為n+1，利用a_n=5S_n+1表示出，它的值即為公比，得到此數(shù)列為等比數(shù)列，然后根據(jù)首項(xiàng)和公比寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可，因而可得出b_n的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式，計(jì)算出c_n的通項(xiàng)公式，再比較Tn與 的大��；
解答：解：（1）∵5S_n=a_n-1
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5a₁+1∴
當(dāng)n≥2時(shí)，5a_n=5S_n-5S_n-1=a_n-1-（a_n-1-1）=a_n-a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比
∴∴（n∈N*） （5分）
（2）由（1）知
∴=
又 b₁=3，∴
當(dāng)n=1時(shí)，
當(dāng)n≥2時(shí)，
（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求出，會(huì)確定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，考查數(shù)列遞推式的求解及相關(guān)計(jì)算．是一道綜合題．