【題目】如圖所示,EB垂直于菱形ABCD所在平面,且EB=BC=2,∠BAD=60°,點G、H分別為邊CD、DA的中點,點M是線段BE上的動點.
(I)求證:GH⊥DM;
(II)當三棱錐D-MGH的體積最大時,求點A到面MGH的距離.
【答案】(Ⅰ)見解析;(II)
【解析】
(Ⅰ)先證明GH⊥平面BDE.再證明GH⊥DM;(II)先證明BM⊥平面ABCD,再計算得到.所以當點M與點E重合時,BM取得最大值2,此時(VD-MGH)max.
再求A到平面MGH的距離為.
(Ⅰ)證明:連接AC、BD相交于點O.
∵BE⊥平面ABCD.而AC平面ABCD,∴BE⊥AC.
又∵四邊形ABCD為菱形,∴BD⊥AC.
∵BD∩BE=B,∴AC⊥平面BDE.
∵G、H分別為DC、AD的中點,∴GH∥AC,則GH⊥平面BDE.
而DM平面BDE,∴GH⊥DM;
(II)菱形ABCD中,∠BAD=60°,得,∠ADC=120°.
∵DG=DH=1,
∴S△DGH==,
∵BE⊥平面ABCD,即BM⊥平面ABCD,
∴=.
顯然,當點M與點E重合時,BM取得最大值2,此時(VD-MGH)max=.
且MG=MH=,GH=,則,
∵H是AD中點,所以A到平面MGH的距離d1等于到平面MGH的距離d2,
又VD-MGH=VM-DGH,∴,得d2=.
∴A到平面MGH的距離為.
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【題目】某品牌服裝店五一進行促銷活動,店老板為了擴大品牌的知名度同時增強活動的趣味性,約定打折辦法如下:有兩個不透明袋子,一個袋中放著編號為1,2,3的三個小球,另一個袋中放著編號為4,5的兩個小球(小球除編號外其它都相同),顧客需從兩個袋中各抽一個小球,兩球的編號之和即為該顧客買衣服所打的折數(如,一位顧客抽得的兩個小球的編號分別為2,5,則該顧客所習的買衣服打7折).要求每位顧客先確定購買衣服后再取球確定打折數.已知三位顧客各買了一件衣服.
(1)求三位顧客中恰有兩位顧客的衣服均打6折的概率;
(2)兩位顧客都選了定價為2000元的一件衣服,設為打折后兩位顧客的消費總額,求的分布列和數學期望.
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【題目】從高一年級隨機選取100名學生,對他們期中考試的數學和語文成績進行分析,成績如圖所示.
(Ⅰ)從這100名學生中隨機選取一人,求該生數學和語文成績均低于60分的概率;
(II)從語文成績大于80分的學生中隨機選取兩人,記這兩人中數學成績高于80分的人數為,求的分布列和數學期望(;
(Ill)試判斷這100名學生數學成績的方差與語文成績的方差的大小.(只需寫出結論).
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【題目】某地區(qū)工會利用 “健步行APP”開展健步走積分獎勵活動.會員每天走5千步可獲積分30分(不足5千步不積分),每多走2千步再積20分(不足2千步不積分).為了解會員的健步走情況,工會在某天從系統(tǒng)中隨機抽取了1000名會員,統(tǒng)計了當天他們的步數,并將樣本數據分為, , , , , , , , 九組,整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求當天這1000名會員中步數少于11千步的人數;
(Ⅱ)從當天步數在, , 的會員中按分層抽樣的方式抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人,求這2人積分之和不少于200分的概率;
(Ⅲ)寫出該組數據的中位數(只寫結果).
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【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)證明:數列{an+1}為等比數列,并求數列{an}的通項公式;
(2)若bn=nan+n,數列{bn}的前n項和為Tn,求滿足不等式的n的最小值.
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