Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn+n=2an（n∈N*）．

（1）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=nan+n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足不等式的n的最小值．

Answer 1

【答案】（1），n∈N*；（2）11

【解析】

（1）易求得=1,由題意，所以，兩個(gè)式子做差變形可得遞推關(guān)系式。根據(jù)等比數(shù)列的定義可得結(jié)論，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得an。（2）bn是一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列相乘的形式，利用錯(cuò)位相減可求得其前n項(xiàng)和。再通過構(gòu)造新數(shù)列以及其增減性得出滿足不等式的最小n值。

（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1+1=2a1，∴a1=1．∵Sn+n=2an，n∈N*，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1+n-1=2an-1，兩式相減得：an+1=2an-2an-1，即an=2an-1+1，

∴an+1=2（an-1+1），∴數(shù)列{an+1}為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

∴，則，n∈N*；

（2）∵，

∴，

∴，

兩式相減得：，

∴，由，得，

設(shè)，∵＞0，∴數(shù)列{cn}為遞增數(shù)列，

∵，，

∴滿足不等式的n的最小值為11．