Question

（本題滿分14分）已知圓：．

（Ⅰ）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

（Ⅱ）過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

（Ⅰ）x=1，3x－4y+5=0,；

（Ⅱ）（y≠0）軌跡為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為4，焦距為4且焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且去掉橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由直線與圓位置關(guān)系得：半徑，半弦長(zhǎng)，圓心到直線距離構(gòu)成勾股,即，因此d=1，又直線過(guò)點(diǎn)，故利用直線方程點(diǎn)斜式求解，注意先討論斜率不存在情況：若⊥x軸，直線方程為x=1，A(1,－)，B（1，），，適合；若的斜率存在，設(shè)的方程為y=k(x－1)+2，圓心到直線的距離為d=1= 解得k=，直線方程為3x－4y+5=0,（Ⅱ）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程：先找出所求的與已知?jiǎng)狱c(diǎn)之間關(guān)系，代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡，化簡(jiǎn)即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：設(shè)M（，）（≠0）.則N（0，），Q（x，y），則 ，又，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為（y≠0）軌跡為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為4，焦距為4且焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且去掉橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)

試題解析：【解析】
（Ⅰ）若⊥x軸，直線方程為x=1，A(1,－)，B（1，），，適合---3分

若的斜率存在，設(shè)的方程為y=k(x－1)+2，圓心到直線的距離為d=，圓半徑為2，故，k=，直線方程為3x－4y+5=0, ------7分

綜上所求直線的方程為x=1，3x－4y+5=0,； -----8分

（Ⅱ）設(shè)M（，）（≠0）.則N（0，），Q（x，y），則 ----2分

又，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為（y≠0） -----5分

軌跡為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為4，焦距為4且焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且去掉橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn).----6分

考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系，軌跡方程