Question

已知橢圓C：的兩個焦點(diǎn)是F₁(c,0)，F(xiàn)₂(c，0)(c>0)。
(I)若直線與橢圓C有公共點(diǎn)，求的取值范圍；
(II)設(shè)E是(I)中直線與橢圓的一個公共點(diǎn)，求|EF₁|+|EF₂|取得最小值時，橢圓的方程；
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q滿足   且，其中N為橢圓的下頂點(diǎn)，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

(I).（II）.（III）直線縱截距的范圍是.

試題分析：(I)由題意聯(lián)立方程組
由得，
根據(jù)，即可得到的取值范圍是.
（II）由橢圓的定義得,
及，得到當(dāng)時，有最小值，確定得到橢圓的方程的方程.
（III）設(shè)直線方程為，
通過聯(lián)立 ,整理得到一元二次方程，設(shè)，
應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合得為的中點(diǎn)，，得到，可建立的方程， 從而由得到使問題得解.
試題解析：(I)由題意知.
由得，
所以，解得，
所以求的取值范圍是.
（II）由橢圓的定義得,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032542689464.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時，有最小值，
此時橢圓的方程的方程為.
（III）設(shè)直線方程為，
由整理得，
化簡得
設(shè)
則
由得為的中點(diǎn)，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032542674737.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
即，化簡得
又，
所以
又，所以
.