Question

如圖，已知橢圓C：

x2

4

+y²=1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上，且異于點(diǎn)A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點(diǎn)M、N，
（�。┰O(shè)直線AP、BP的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁•k₂為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（�。┯蓹E圓方程求出兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出直線AP、BP的斜率k₁，k₂，結(jié)合P的坐標(biāo)適合橢圓方程可證結(jié)論；
（ⅱ）設(shè)出以MN為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由

QM

 • 

QN

=0列式得到圓的方程，化為圓系方程后聯(lián)立方程組可求解圓所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： （ⅰ）證明：由題設(shè)橢圓C：：

x2

4

+y²=1可知，點(diǎn)A（0，1），B（0，-1）．
令P（x₀，y₀），則由題設(shè)可知x₀≠0．
∴直線AP的斜率k₁=

y0-1

x0

，PB的斜率為k₂=

y0+1

x0

．
又點(diǎn)P在橢圓上，∴

x02

4

+y₀²=1（x₀≠1）
從而有k₁•k₂=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=-

1

4

；
（ⅱ）解：以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．
事實(shí)上，設(shè)點(diǎn)Q（x，y）是以MN為直徑圓上的任意一點(diǎn)，則

QM

 • 

QN

=0，
故有(x+

3

k1

)(x+

1

k2

)+（y+2）（y+2）=0．
又k₁•k₂=-

1

4

∴以MN為直徑圓的方程為x²+（y+2）²-12+(

3

k1

-4k1)x=0．
令x=0，則（y+2）²=12，解得y=-2±2

3

．
∴以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了圓系方程，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．