Question

{an}滿足a₁=4，且a_n=4-

4

an-1

（n＞1），記b_n=

1

an-2

．
（1）求證：{b_n}為等差數(shù)列．
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得an-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，從而

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，進(jìn)而bn=

1

2

+bn-1，由此能證明{b_n}為等差數(shù)列，公差為

1

2

．
（2）由b1=

1

a1-2

=

1

2

，得bn=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，由此能求出a_n=

2

n

+2．

解答： （1）證明：∵{a_n}滿足a₁=4，且a_n=4-

4

an-1

（n＞1），
∴an-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，
∵b_n=

1

an-2

，∴bn=

1

2

+bn-1，
∴b_n-b_n-1=

1

2

，
∴{b_n}為等差數(shù)列，公差為

1

2

．
（2）解：b1=

1

a1-2

=

1

2

，
∴bn=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
∴

1

an-2

=

n

2

，
∴a_n=

2

n

+2．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．