已知x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足2x2+8y2+xy=2，則x+2y的最大值是
 
．
考點(diǎn)：基本不等式
專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：令x+2y=t，則x=t-2y，問(wèn)題等價(jià)于方程14y2-7ty+2t2-2=0有正數(shù)解，利用△≥0即可得出．
解答： 解：令x+2y=t，則x=t-2y，
方程等價(jià)為2（t-2y）2+（t-2y）y+8y2=2，
即14y2-7ty+2t2-2=0，
要使14y2-7ty+2t2-2=0有解，
則△=（-7t）2-4×14×（2t2-2）≥0，-
-7t
14
＞0，
2t2-2
14
＞0．
即63t2≤56×2，t＞1．
∴t2≤
16
9
，t＞1
即1＜t≤
4
3
，當(dāng)t=
4
3
時(shí)，y=
1
3
，x=
2
3
滿足條件．
∴x+2y的最大值等于
4
3
．
故答案為：
4
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)代換轉(zhuǎn)化為一元二次方程有實(shí)數(shù)根的情況，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，都有an＞0，Sn=
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
．
（1）求a1，a2的值．
（2）對(duì)于數(shù)列{an}，求證：a2n+1n≥a2nn+a2n-1n
（3）已知橢圓方程C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），數(shù)列{an}中的a2，a4分別是橢圓的短半軸長(zhǎng)的平方和長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的平方，過(guò)點(diǎn)P(
2
3
，-
1
3
)而不過(guò)點(diǎn)Q(
2
，1)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，記△QAB的面積為S，證明：S＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組
2x-y≥0
x+y-2≥0
6x+3y≤18
，且z=ax+y（a＞0）取最小值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值是（　�。�
A、-
4
5
B、1
C、2
D、無(wú)法確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜7}．求：
（1）A∪B；        
（2）（∁RA）∩B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，D是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）求證：A1B∥平面ADC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2．若橢圓上存在點(diǎn)P，使得|
PF1
+
PF2
|=|
F1F2
|成立，則
b
a
的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)地球半徑為R，北緯30°圈上有A，B兩地，它們的經(jīng)度相差120°，則這兩地間的緯度線的長(zhǎng)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長(zhǎng)為（　�。�
A、2
3
B、2
C、
6
D、
3

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同步練習(xí)冊(cè)答案