Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁、F₂．若橢圓上存在點P，使得|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|成立，則

b

a

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：把|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|平方，得到關(guān)于m，n和c的關(guān)系式，從而求

b

a

的取值范圍．

解答： 解：設(shè)|

PF1

|=m，|

PF2

|=n，橢圓的長軸長為2a，∠F₁PF₂=θ
由|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|，
得：m²+n²+2mncosθ=4c²，2mncosθ=4c²-m²-n²；
又在△F₁PF₂中，由余弦定理得，
2mncosθ=m²+n²-4c²，
∴m²+n²-4c²=0
∴（m+n）²-2mn-4c²=0，
即2b²=mn，
又mn≤(

m+n

2

)2=a²，
∴

b2

a2

≤

1

2

，
∴

b

a

≤

2

2

，
又

b

a

＞0，
∴0＜

b

a

≤

2

2

．
故答案為：（0，

2

2

]．

點評：本題主要考查橢圓的定義和離心率，與余弦定理結(jié)合運用．