Question

【題目】已知函數(shù),且曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.

(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若對(duì)任意(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),都有恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及條件可得，解得．然后由導(dǎo)函數(shù)大于（小于）零可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(Ⅱ)由（Ⅰ）可得，令 ，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得時(shí)，單調(diào)遞減，故．由，可得．然后再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，成立即可．本題也可分為和兩種情況分別求出的取值范圍，然后取其并集即可．

試題解析：

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，

∵，定義域?yàn)?/span>，

∴．

由題意知，解得,

∴，

由，解得；由，解得，

的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

．

法一：設(shè)，則，

令，則，

時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，

，

時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，

由題意知，又

.

下面證明當(dāng)時(shí)，成立，

即證成立，

令，則，

由，得在是增函數(shù)，

時(shí)，，

成立，即成立，

故正數(shù)的取值范圍是.

法二：①當(dāng)時(shí)，可化為，

令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意恒成立.

又，

令，得，令，得，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，下面驗(yàn)證.

設(shè)，則.

所以在上單調(diào)遞減，

所以.即.

故此時(shí)不滿足對(duì)任意恒成立；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

故對(duì)任意恒成立，

故符合題意.

綜合,得.

②當(dāng)時(shí)，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意恒成立.

又，

令得 ；令，得，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，所以

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以只需，即

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則需.

因?yàn)?/span>不符合題意.

綜合可得.

由①②得正數(shù)的取值范圍是．