已知函數(shù)f(x)=
2x2+a
x
,且f(1)=3.
(1)求證:函數(shù)f(x)在[
2
2
,+∞)
上單調(diào)遞增;
(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=x+b的兩根為x1,x2,是否存在實數(shù)t,使得不等式2m2-t•m+4≥|x1-x2|對?b∈[2,
13
]
?m∈[
1
2
,2]
恒成立?若存在,求實數(shù)t的取值范圍;若不存在說明理由.
考點:導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由f(1)=3求得a值,然后求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)在[
2
2
,+∞)
上大于等于0恒成立得答案;
(2)把f(x)的解析式代入f(x)=x+b,化為關(guān)于x的一元二次方程后求得|x1-x2|,再求出b∈[2,
13
]
時|x1-x2|的最大為3.則問題轉(zhuǎn)化為m∈[
1
2
,2]
時2m2-tm+1≥0恒成立.然后分二次不等式對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間兩側(cè)和在區(qū)間內(nèi)分類求最小值,由最小值大于等于0求解t的取值范圍.
解答: (1)證明:由f(x)=
2x2+a
x
,且f(1)=3.
得:2+a=3,解得a=1.
f(x)=
2x2+1
x
=2x+
1
x

f(x)=2-
1
x2

x≥
2
2
時,f′(x)≥0.
∴函數(shù)f(x)在[
2
2
,+∞)
上單調(diào)遞增;
(2)解:由f(x)=x+b,得:
2x2+1
x
=x+b
,化簡:x2-bx+1=0.
|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
b2-4
,
當b∈[2,
13
]
時,|x1-x2|的最大為3.
不等式2m2-t•m+4≥|x1-x2|對?b∈[2,
13
]
?m∈[
1
2
,2]
恒成立,
只需m∈[
1
2
,2]
時,2m2-tm+4≥3恒成立.
也就是2m2-tm+1≥0恒成立.
函數(shù)y=2m2-tm+1的對稱軸m=
t
4

t
4
1
2
時,函數(shù)在[
1
2
,2]
上單調(diào)遞增,在m=
1
2
時取得最小值,
則只需要最小值大于等于0即可,即
1
2
-
t
2
+1≥0
,即t≤3,結(jié)合t≤2得t≤2.
1
2
t
4
<2
,即2<t<8時,函數(shù)最小值為:
8-t2
8
,則有
8-t2
8
≥0
,
解得:-2
2
≤t≤2
2
,則2<t≤2
2

t
4
≥2
,即t≥8時,函數(shù)在[
1
2
,2]
上單調(diào)遞減,在m=2取得最小值,
則只需要最小值大于等于03,
即18-3t+1≥0,解得t
19
3
,不符合.
綜上:存在t≤2
2
,使得不等式2m2-t•m+4≥|x1-x2|對?b∈[2,
13
]
?m∈[
1
2
,2]
恒成立.
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值,解答此題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化思想方法的運用,是有一定難度題目.
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5
3
,
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1
2
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