Question

已知直線：

sinθ

a

x+

cosθ

b

y=1（a，b為給定的正常數(shù)，θ為參數(shù)，θ∈[0，2π））構(gòu)成的集合為S，給出下列命題：
①當(dāng)θ=

π

4

時，S中直線的斜率為

b

a

；
②S中的所有直線可覆蓋整個坐標平面．
③當(dāng)a=b時，存在某個定點，該定點到S中的所有直線的距離均相等；
④當(dāng)a＞b時，S中的兩條平行直線間的距離的最小值為2b；
其中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

考點：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：①當(dāng)θ=

π

4

時，S中直線的斜率為k=-

b

a

；②（0，0）不滿足方程，所以S中的所有直線不可覆蓋整個平面；③當(dāng)a=b時，方程為xsinθ+ycosθ=a，存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等；④當(dāng)a＞b時，S中的兩條平行直線間的距離最小值為2b．

解答： 解：①當(dāng)θ=

π

4

時，S中直線的斜率為k=-

sin π 4 a

cos π 4 b

=-

b

a

，故①錯誤；
②（0，0）不滿足方程，所以S中的所有直線不可覆蓋整個平面，故②錯誤；
③當(dāng)a=b時，方程為xsinθ+ycosθ=a，存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等，故③正確；
④當(dāng)a＞b時，S中的兩條平行直線間的距離為d=

2

sin2θ a2 + cos2θ b2

≥2b，即最小值為2b，故④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查直線系方程的應(yīng)用，要明確直線系中直線的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷各個命題的正確性．