Question

(1)利用計(jì)算器，求方程lgx＝3－x的近似解(精確到0.1)．

(2)作出函數(shù)y＝x³與y＝3x－1的圖象，并寫出方程x³＝3x－1的近似解(精確到0.1)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(2)與(1)有明顯的不同，(1)的方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象容易作出，所以根據(jù)圖象初步判斷方程的根的起步區(qū)間比較容易，而(2)中，方程可以化為lgx－3＋x＝0，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)＝lgx－3＋x，無法作出它的圖象．但是我們考慮原方程兩邊的對(duì)應(yīng)函數(shù)都是我們熟悉的形式，分別是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgx和一次函數(shù)y＝3－x，我們分別畫出y＝lgx和y＝3－x的圖象，如圖所示．在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等即y值相等．因此，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程lgx＝3－x的解．由函數(shù)y＝lgx與y＝3－x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx＝3－x有唯一解，記為x1，并且這個(gè)解在區(qū)間(2，3)內(nèi)．然后如同(1)，利用二分法，多次把區(qū)間縮小，取其中符合條件的半?yún)^(qū)間，直到精確到符合要求為止． 　　(1)解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝lgx和函數(shù)y＝3－x的圖象(如圖)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝lgx是定義域內(nèi)的增函數(shù)，函數(shù)y＝3－x是定義域內(nèi)的減函數(shù)，由圖象可知，方程的根在區(qū)間(2，3)內(nèi)，且只有這一個(gè)根．設(shè)方程的根為x1， 　　令f(x)＝lgx－3＋x，用計(jì)算器計(jì)算，得 　　f(2)＜0，f(3)＞0x1∈(2，3)， 　　f(2.5)＜0，f(3)＞0x1∈(2.5，3)， 　　f(2.5)＜0，f(2.75)＞0x1∈(2.5，2.75)， 　　f(2.5)＜0，f(2.625)＞0x1∈(2.5，2.625)， 　　f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0x1∈(2.562 5，2.625)．因?yàn)?.562 5與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，所以原方程的近似解為x1≈2.6． 　　點(diǎn)評(píng)：同樣，在解題過程中，要提醒同學(xué)們注意保證計(jì)算的準(zhǔn)確率，取近似解時(shí)的最后一個(gè)區(qū)間應(yīng)該是哪一個(gè)，怎樣判斷我們的計(jì)算已經(jīng)符合精確度的要求了． 　　(2)解：函數(shù)y＝x3與y＝3x－1的圖象如圖所示，在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等．因此，這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x3＝3x－1的解． 　　由圖象可以知道，方程x3＝3x－1的解分別在區(qū)間(－2，－1)，(0，1)和(1，2)內(nèi)．那么，對(duì)于區(qū)間(－2，－1)，(0，1)和(1，2)分別利用二分法就可以求得它精確到0.1的近似解為 　　x1≈－1.9， 　　x2≈0.3， 　　x3≈1.5．