【題目】如圖,四棱柱的底面為菱形,且.
(1)證明:四邊形為矩形;
(2)若,與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)由四棱柱性質(zhì)可知四邊形 為平行四邊形,連接,設(shè),連接.,易證∴平面,∴.∵,∴; (2) 過點作平面,垂足為,由已知可得點在上,證明點與點重合,則平面,以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系求出平面與平面的法向量,代入公式計算即可.
試題解析:
(1)證明:連接,設(shè),連接.
∵,∴.
又為的中點,∴..
∴平面,∴.
∵,∴.
又四邊形是平行四邊形,則四邊形為矩形.
(2)解:過點作平面,垂足為,由已知可得點在上,∴.
設(shè),則.
在菱形中,,∴.
∴點與點重合,則平面.
以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系.
則.
∴.
設(shè)平面的法向量為,則 ,∴即
取,可得為平面的一個法向量.
同理可得平面的一個法向量為。
∵.所以二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從高一年級隨機選取100名學(xué)生,對他們期中考試的數(shù)學(xué)和語文成績進行分析,成績?nèi)鐖D所示.
(Ⅰ)從這100名學(xué)生中隨機選取一人,求該生數(shù)學(xué)和語文成績均低于60分的概率;
(II)從語文成績大于80分的學(xué)生中隨機選取兩人,記這兩人中數(shù)學(xué)成績高于80分的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望(;
(Ill)試判斷這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差與語文成績的方差的大小.(只需寫出結(jié)論).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形, 平面, 分別是線段, 的中點, .
求證: 平面;
求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且滿足f(3-x)=f(x),f(-1)=3,數(shù)列{an}滿足a1=1且an=n(an+1-an)(n∈N*),則f(a36)+f(a37)=( 。
A. B. C. 2D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)證明:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=nan+n,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求滿足不等式的n的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】襄陽市擬在2021年奧體中心落成后申辦2026年湖北省省運會,據(jù)了解,目前武漢,宜昌,黃石等申辦城市因市民擔(dān)心賽事費用超支而準(zhǔn)備相繼退出,某機構(gòu)為調(diào)查襄陽市市民對申辦省運會的態(tài)度,選取某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下:
支持 | 不支持 | 合計 | |
年齡不大于50歲 | 60 | ||
年齡大于50歲 | 10 | ||
合計 | 80 | 100 |
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦省運會無關(guān)?
附: , .
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn),其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式(為大于0的常數(shù)).現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品,測得數(shù)據(jù)如下:
對數(shù)據(jù)作了初步處理,相關(guān)統(tǒng)計位的值如下表:
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(2)按照某項指標(biāo)測定,當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件,記為取到優(yōu)等品的件數(shù),試求隨機變量的分布列和期望.
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從高三抽出名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,由成績得到如下的頻率分布直方圖.試?yán)妙l率分布直方圖求:
(1)這名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù);
(2)這名學(xué)生的平均成績.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】研究變量,得到一組樣本數(shù)據(jù),進行回歸分析,有以下結(jié)論
①殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好;
②用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果,越小說明擬合效果越好;
③線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點;
④若變量和之間的相關(guān)系數(shù)為,則變量和之間的負(fù)相關(guān)很強.
以上正確說法的個數(shù)是( )
A. B. C. D.
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