Question

若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

x2

45

+

y2

b2

=1上有一點(diǎn)，使它與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直，則正數(shù)b的取值范圍是

（0，

3 10

2

]

．

Answer 1

分析：依題意，求b的范圍就是求橢圓短半軸的范圍，利用圓的幾何性質(zhì)，將橢圓上存在點(diǎn)使它與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直的問題轉(zhuǎn)化為以原點(diǎn)為圓心，兩焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)問題，由橢圓幾何性質(zhì)即可得關(guān)于b的不等式，解得b的取值范圍

解答：解：∵橢圓

x2

45

+

y2

b2

=1的焦點(diǎn)在x軸上，故b²＜45，即正數(shù)b∈（0，3

5

）   ①
設(shè)橢圓的焦距為2c，則以原點(diǎn)為圓心，兩焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為直徑的圓O的方程為x²+y²=c²
要使橢圓

x2

45

+

y2

b2

=1上有一點(diǎn)，使它與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直，只需圓O與橢圓有交點(diǎn)，
由橢圓幾何性質(zhì)，只需半徑c≥|b|
即c²≥b²，即45-b²≥b²，b²≤

45

2

   ②
由①②解得：b∈（0，

3 10

2

]
故答案為（0，

3 10

2

]

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓與圓的位置關(guān)系，求橢圓短半軸范圍問題的解法，將問題轉(zhuǎn)化為兩曲線交點(diǎn)存在問題是解決本題的關(guān)鍵