Question

已知函數(shù)．
（I）  判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（II） 設(shè)g（x）=1+log_a（x-3），若方程f（x）=g（x）有實根，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）  先求出函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷f（x）的奇偶性即可；
（II）通過g（x）=1+log_a（x-3），求出方程f（x）=g（x）的表達(dá)式，利用方程有實根，求出函數(shù)的定義域；
法一：求出方程中a的表達(dá)式，通過變形，利用基本不等式求出a的取值范圍．
法二：轉(zhuǎn)化方程為二次函數(shù)，通過二次方程根的分布，求出a取值范圍．
解答：解：（I）由
所以函數(shù)的定義域為：（-∞，-5）∪（5，+∞）．…（2分）
又，
∴f（x）是奇函數(shù)．…（6分）
（II）若f（x）=g（x）有實根，即：有實根．
∴．
∴即方程有大于5的實根…（10分）
（法1）（∵x＞5）
=
∴．…（16分）
（法2）（實根分布）（1）有大于5的實根，
方程（1）化為：ax²+（2a-1）x-15a+5=0．
∵a＞0，∴△=64a²-24a+1≥0．
①有一根大于5，f（5）＜0⇒a∈ϕ．
②兩根均大于5，．…（16分）
點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意函數(shù)的定義域；函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．一定注意函數(shù)的定義域首先考慮的原則．