Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥x的解集；
（2）若對(duì)任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的范圍；
（3）若方程f（x）=x有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0，不等式f（x）≥x化為不等式|x+1|﹣|x|≥x．

x≤﹣1時(shí)，﹣x﹣1+x≥x，∴x≤﹣1；

﹣1＜x＜0時(shí)，x+1+x≥x，∴﹣1＜x＜0；

x≥0時(shí)，x+1﹣x≥x，∴0≤x≤1；

綜上所述，不等式f（x）≥x的解集為{x|x≤1}

（2）解：若對(duì)任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|﹣|x+1|≤a恒成立，

∵|x|﹣|x+1|≤|x﹣x﹣1|=1，∴a≥1

（3）解：設(shè)u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的圖象和y=x的圖象如圖所示．

易知y=u（x）的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)（不包括1個(gè)單位），與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，

從而﹣1＜a＜0．

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣1，0）

【解析】（1）若a=0，不等式f（x）≥x化為不等式|x+1|﹣|x|≥x，分類討論，即可求得f（x）≥x的解集；（2）若對(duì)任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|﹣|x+1|≤a恒成立，求出左邊的最大值，即可求a的范圍；（3）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的圖象，方程f（x）=x恰有三個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化成y=u（x）與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)，掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．