Question

（本小題滿分14分）已知,函數(shù).

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線的斜率；

（Ⅱ）討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得方程有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）0； （Ⅱ）； （Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，函數(shù).對函數(shù)求導，并求出即為曲線在點處的切線的斜率.

（Ⅱ）由，對進行討論，即可得到導函數(shù)的值的正負.由此得到函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，當當上單調(diào)遞減，方程不可能有兩個不等的實數(shù)根；所以當時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，原題意等價于等價于函數(shù)的極小值.由此可解得結論.

試題解析：（1）當時，

所以曲線y=（x）在點處的切線的斜率為0. 3分

（2） 4分

當上單調(diào)遞減； 6分

當.

.

8分

（3）存在，使得方程有兩個不等的實數(shù)根. 9分

理由如下：

由（1）可知當上單調(diào)遞減，方程不可能有兩個不等的實數(shù)根； 11分

由（2）得，使得方程有兩個不等的實數(shù)根，等價于函數(shù)的極小值，即，解得

所以的取值范圍是 14分

考點：1.導數(shù)的幾何意義.2.函數(shù)的單調(diào)性.3.函數(shù)的極值最值.