Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并證明；
（3）求證：．

Answer 1

解：（1）f'_n（x）=x²-（n+1）x+1，（n∈N^*）
∴a_n+1=a_n²-（n+1）a_n+1
∵a₁=3．
∴a₂=a₁²-2a₁+1=4
a₃=a₂²-3a₁+1=5
a₄=a₃²-4a₃+1=6
（2）猜想a_n=n+2
當(dāng)n=1時，顯然成立
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時成立，即有a_k=k+2
則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=a_k²-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1
=k+3=（k+1）+2
即當(dāng)n=k+1時，猜想也成立．
所以對一切n∈N^*，a_n=n+2均成立．
（3）證明：當(dāng)k≥2時，=（）
所以n≥2時，有＜[（）++…（）]
=（）＜
又=1，
所以，
原不等式成立．
分析：（1）由已知，對f_n（x）求導(dǎo)，由a_n+1=f'_n（a_n）應(yīng)得出a_n+1=a_n²-（n+1）a_n+1，利用此遞推式求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）求得的結(jié)果，應(yīng)猜想a_n=n+2，可用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）當(dāng)k≥2時，=（），
對不等式右邊的項放縮后，化簡整理，尋求出與的大小關(guān)系，來證明不等式．
點評：本題是函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合．考查了計算、歸納猜想、證明的數(shù)學(xué)思想方法，放縮法證明不等式（結(jié)合了裂項法數(shù)列求和）．