Question

已知函數(shù)，且在處的切線斜率為．
（1）求的值，并討論在上的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，其中，若對(duì)任意的總存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) 在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減
(Ⅱ)

試題分析：(Ⅰ)

∴     ∴
∴，或
∴，或
則在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
∴   則依題在上恒成立

①當(dāng)時(shí)，，∴在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，即時(shí)成立
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
∴，故時(shí)不成立，綜上
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中的基本問題，（1）運(yùn)用“函數(shù)在某點(diǎn)的切線斜率，就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值”，確定直線的斜率。通過研究導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況，明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。不等式恒成立問題，一般的要轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。