Question

過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0）的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的一條漸近線y=

b

a

x交于點(diǎn)B，與另一條漸近線y=-

b

a

x交于點(diǎn)C，若A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  13

• B、

  10

• C、

  5

• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意雙曲線右頂點(diǎn)為A（a，0），直線與雙曲線的一條漸近線y=

b

a

x交于點(diǎn)B，與另一條漸近線y=-

b

a

x交于點(diǎn)C，求出B、C的橫坐標(biāo)再根據(jù) A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，建立關(guān)于a、b的等式解出b=3a，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：經(jīng)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，直線方程為y=x-a
∵直線與雙曲線的一條漸近線y=

b

a

x交于點(diǎn)B，與另一條漸近線y=-

b

a

x交于點(diǎn)C，
∴直線y=x-a與漸近線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x_B=

a2

b-a

，x_C=

a2

b+a

∵A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，
∴（

a2

b-a

）²=a•

a2

b+a

，化簡(jiǎn)整理，解得b=3a
∵c=

a2+b2

=

10

a，
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

10

故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率．著重考查了直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．