Question

判斷下列命題，其中正確的為

 

①若sinα＞0，則α角的終邊落在第一或第二象限；
②函數(shù)y=2^x（x＜1）的值域為{y|y＜2}；
③函數(shù)f(x)=loga

2-sinx

2+sinx

（a＞0且a≠1）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)；
④sinx-cosx=

2

2

，則sin³x-cos³x=

5 2

8

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出sinα＞0時，α角的取值范圍，即可判定命題是否正確；
②由指數(shù)函數(shù)y=2^x的圖象與性質(zhì)得出x＜1時，y=2^x的值域；
③由函數(shù)的奇偶性定義判定f(x)=loga

2-sinx

2+sinx

的奇偶性即可；
④由sinx-cosx=

2

2

兩邊平方，求出sinxcosx的值，把sin³x-cos³x因式分解，即可計算結(jié)果．

解答： 解：①考查正弦函數(shù)的圖象知，
當(dāng)sinα＞0時，α角的終邊落在第一、第二象限或y正半軸上，
∴命題①錯誤；
②考查指數(shù)函數(shù)y=2^x的圖象知，
當(dāng)x＜1時，y=2^x的值域是{y|0＜y＜2}，
∴命題②錯誤；
③∵函數(shù)f(x)=loga

2-sinx

2+sinx

的定義域為R，
對?x∈R，有f（-x）=log_a

2-sin(-x)

2+sin(-x)

=log_a(

2-sinx

2+sinx

)-1=-log_a

2-sinx

2+sinx

=-f（x）
（其中a＞0且a≠1），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴命題③正確；
④∵sinx-cosx=

2

2

，
∴1-2sinxcosx=

1

2

，
∴sinxcosx=

1

4

，
∴sin³x-cos³x=（sinx-cosx）（sin²x+sinxcosx+cos²x）
=

2

2

×（1+

1

4

）
=

5 2

8

，
∴命題④正確；
所以，正確的命題是③④．
故答案為：③④．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的問題，是綜合題．