Question

（本題滿分14分）數(shù)列{a_n}滿足：a₁=, 前n項(xiàng)和S_n=,

（1）寫(xiě)出a₂, a₃, a₄；（2）猜出a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）a₂=；a₃=；a₄=

（2）a_n=

【解析】(1)根據(jù)a_n與S_n的關(guān)系，分別令n=2,3,4易求a₂, a₃, a₄；

(2)根據(jù)前四項(xiàng)，可以猜想出a_n的表達(dá)式，由于問(wèn)題是與正整數(shù)n有關(guān)，因而可以考慮采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.在用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，分兩個(gè)步驟：一是驗(yàn)證n=1，等式成立；

二是先假設(shè)n=k時(shí)，等式成立；然后再證明n=k+1時(shí)，等式也成立，再證明時(shí)一定要用上n=k時(shí)的歸納假設(shè)，否則證明無(wú)效.

解：（1）令n=2, 得S₂=, 即a₁+a₂=3a₂ , 解得a₂=.    ……………1分

令n=3, 得S₃=，即a₁+a₂+a₃=6a₃, 解得a₃=.      ……………1分

令n=4，得S₄=，即a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄, 解得a₄=.  ……………1分

（2）由（1）的結(jié)果猜想a_n=, 下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明：……………1分

①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=，結(jié)論成立.                        ……………1分

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=，                    ……………1分

則當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k=，        （1）                       ……………1分

S_k+1=,                （2）                      ……………1分

（2）-（1）得a_k+1=-,                    ……………2分

整理得a_k+1===，3分

即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.

由①、②知對(duì)于n∈N₊，上述結(jié)論都成立.                             ……………1分