Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=n-a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=-2na_n+2n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出a₁，然后利用a_n=S_n-S_n-1得到a_n與a_n-1的關(guān)系，化簡為數(shù)列{a_n-1}中任意相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，通過等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合c_n=-2na_n+2n，求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可求證：T_n＜4．

解答：解：（Ⅰ）∵n=1時(shí)，S₁=1-a₁，即a₁=1-a₁，a₁=

1

2

．
∵S_n=n-a_n，∴S_n-1=n-1-a_n-1，n＞1．
兩式相減，得a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

．…（3分）
a_n-1=

1

2

（a_n-1-1）．
從而{a_n-1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁-1=-

1

2

，公比為

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=-

1

2

(

1

2

)n-1．從而a_n=-(

1

2

)n+1．…（8分）
∵c_n=-2na_n+2n，∴Cn=-2n(-(

1

2

)n+1)+2n=-2n(

1

2

)n，
∴Tn=2[

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n]．…（10分）
從而

1

2

Tn=2[ (

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1]，
兩式相減，得

1

2

Tn=2[(

1

2

)1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]．
Tn=4×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-4n×(

1

2

)n+1=4-(2n+4)(

1

2

)n．
∴T_n＜4．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：證明數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，常用數(shù)列的定義證明，在第二問中，錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的常用方法，注意構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用．