Question

【題目】在如圖所示的多面體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn)．

（）求證：．

（）若為線段上一點(diǎn)，且，求證：平面．

（）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為．若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】）證明見解析；（）證明見解析；（）為中點(diǎn)．

【解析】分析：（1）證明，，即可證明平面，利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）以為原點(diǎn)，，為，軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，根據(jù)可證得結(jié)果；（3）設(shè)，，，利用若直線與平面所成的角為，列出方程求出，即可得到點(diǎn)的位置．

詳解：（）∵，是的中點(diǎn)，∴，

又∵平面，，

∵點(diǎn)，

∴平面，∴．

（）如圖，以為原點(diǎn)，，為，軸，

建立如圖所示的坐標(biāo)系，∴，，

，，，

∴，，

設(shè)平面的一個法向量．

∴，∴，

取，

∵，∴，

∴，∴平面．

（）在棱上存在一點(diǎn)，設(shè)，且，

∴，

∴，

∴，

，，

若直線與平面所成角為，

∴，

解得，∴存在點(diǎn)符合條件，且點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．