Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c （≤a≤1）的圖象過點A（0，1）且直線2x+y-1=0與y=f（x）圖象切于A點．
（1）求b與c的值；
（2）設(shè)f（x）在[1，3]上的最大值與最小值分別為M（a）、N（a）、g（x）=M（a）-N（a），若g（a）=2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

解：（1）f（0）=1c=1（2分）
ax²+（b+2）x=0有等根（5分）
b=-2（7分）
（2）f（x）=ax²-2x+1=a（x-）²+1-（8分）
≤a≤1∴1≤≤3恒有N（a）=1-（10分）
當(dāng)1≤≤2即≤a≤1時M（a）=9a-5
M（a）-N（a）=2＜（舍去）（12分）
當(dāng)2＜≤3即≤a＜時M（a）=a-1
M（a）-N（a）=2a=2±＞都舍去
綜上（15分）
分析：（1）由f（0）=1，求得c=1，再由“直線2x+y-1=0與y=f（x）圖象切于A點”聯(lián)立轉(zhuǎn)化為ax²+（b+2）x=0有等根，求b．
（2）由（1）知f（x）=ax²-2x+1=a（x-）²+1-，用二次函數(shù)法求得其最值，構(gòu)造g（x），再由g（a）=2，求實數(shù)a的值，要注意討論．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及二次方程根的問題，還考查了構(gòu)造思想，分類討論思想．