Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分別是A₁B₁，BC的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）試求線段MN與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（空間向量）依條件可知AB，AC，AA₁兩兩垂直．以點A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz．求出相關點的坐標，
（Ⅰ）利用

MN

•

AB

=0，得到

MN

⊥

AB

．通過

AB

是平面ACC₁A₁的一個法向量，推出MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）求出平面ABC的法向量是

n

=(x，y，z)，利用法向量與向量

MN

=(-

1

2

，0，-2)的夾角，求解所求線面所成角的余弦值．
（邏輯推理）（Ⅰ）作出AC的中點D，連結DN，A₁D．通過證明四邊形A₁DNM是平行四邊形，得到MN∥A₁D，利用直線與平面平行的判定定理證明MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）作出AB的中點F說明∠MNF就是所求的線面所成角，解三角形即可．

解答： 解：（空間向量）依條件可知AB，AC，AA₁兩兩垂直．如圖，
以點A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz．
依條件可知AB，AC，AA₁兩兩垂直．
如圖，以點A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz．
根據(jù)條件容易求出如下各點坐標：A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（-1，0，2），M（0，1，2），N(-

1

2

，1，0)．
（Ⅰ）因為

AB

=(0，2，0)，

AC1

=(-1，0，2)，
因為

MN

=(-

1

2

，0，-2)，

AB

=(0，2，0)，所以

MN

•

AB

=-

1

2

×0+0×2-2×0=0，
從而

MN

⊥

AB

．
又因為

AB

=(0，2，0)是平面ACC₁A₁的一個法向量，且MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）

BC

=(-1，-2，0)，

AB

=(0，2，0)設平面ABC的法向量是

n

=(x，y，z)
由

n

•

BC

=0，

n

•

AB

=0，知法向量可以是

n

=(0，0，1)，它與向量

MN

=(-

1

2

，0，-2)的夾角滿足：cosθ=

n • MN

| MN || n |

=-

4

17

，
所以所求線面所成角的余弦值是

1

17

．
（邏輯推理）（Ⅰ）如圖

作出AC的中點D，連結DN，A₁D．
∵D，N分別是AC，BC的中點
∴DN∥AB且DN=

1

2

AB，
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，
∴AB∥A₁B₁且AB=A1BA
又∵M是A₁B₁的中點，
∴A1M=

1

2

A1B1=

1

2

AB=DN，
∵DN∥AB，AB∥A₁B₁
∴DN∥A₁M∴四邊形A₁DNM是平行四邊形
∴MN∥A₁D
∵MN?平面ACC1，A₁A₁D?平面ACC₁A₁
∴MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）如圖

作出AB的中點F∵N，F(xiàn)分別是BC，AB的中點∴NF∥AC，NF=

1

2

AC=

1

2

又∵M是A₁B₁的中點，
∴MF∥AA₁，MF=AA₁=2
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，
∴MF⊥面ABC，MF⊥NF
∴∠MNF就是所求的線面所成角．
∴cosMEN=

NF

MN

=

1 2

1 4 +4

=

1

17

點評：本題用兩種方法證明直線與平面平行，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力，轉化思想的應用．