【題目】如圖，是圓柱的直徑，是圓柱的母線，，，點是圓柱底面圓周上的點.

（1）求三棱錐體積的最大值；

（2）若，是線段上靠近點的三等分點，點是線段上的動點，求的最小值.

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）三棱錐的高為定值，要根據(jù)三棱錐體積公式可知，要使得體積最大，就要底面積最大，又因為邊為定值，故當到的距離取得最大值時，底面積最大，故此時棱錐的體積最大；

（2）反向延長至，使得三點共線，三點共線時，距離最短，則為最小值.

（1）三棱錐高，，點到的最大值為底面圓的半徑，

則三棱錐體積的最大值等于.

（2）將繞著旋轉到使其共面，且在的反向延長線上，連接，與的交點為，此時最小，為；

由，，且易知，由勾股定理知，因為，所以，則，；

，則是邊長為4的等邊三角形，故，所以的最小值等于4.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖象；

（2）若為奇函數(shù)，求；

（3）在（2）的前提下，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.

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【題目】科學家發(fā)現(xiàn)某種特別物質(zhì)的溫度（單位：攝氏度）隨時間（時間：分鐘）的變化規(guī)律滿足關系式：（，）.

（1）若，求經(jīng)過多少分鐘，該物質(zhì)的溫度為5攝氏度；

（2）如果該物質(zhì)溫度總不低于2攝氏度，求的取值范圍.

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【題目】在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，，設為側棱的中點.

（1）求正四棱錐的體積；

（2）求直線與平面所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點在雙曲線（，）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過點且斜率為的直線與雙曲線有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設（2）中直線與雙曲線交于兩個不同的點，若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求實數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設，其中，為個互不相同的有限集合，滿足對任意、，均有.若（表示有限集合的元素個數(shù)），證明：存在，使得屬于中的至少個集合.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知、為平面上的兩個定點，且，該平面上的動線段的端點、，滿足，，，則動線段所形成圖形的面積為（ ）

A.36B.60C.72D.108

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣axlnx．

（1）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；

（2）證明：對于a∈（0，e），函數(shù)f（x）在區(qū)間（）上單調(diào)遞增．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年8月8日是我國第十個全民健身日，其主題是：新時代全民健身動起來。某市為了解全民健身情況，隨機從某小區(qū)居民中抽取了40人，將他們的年齡分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖。

（1）試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計值；

（2）（i）若從樣本中年齡在[50，70）的居民中任取2人贈送健身卡，求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率；

（ⅱ）已知該小區(qū)年齡在[10，80]內(nèi)的總人數(shù)為2000，若18歲以上（含18歲）為成年人，試估計該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)。

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