Question

（1）設函數(shù)f（x）=-cos²x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t³+t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
①求g（t）的表達式；
②討論g（t）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值．
（2）已知f （x）=ax-x³
①若f（x）在區(qū)間（0，

2

2

）內(nèi)是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
②若f（x）的極小值為2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）①f（x）=sin²x-2tsin2x+4t³+t²-3t+3=（sinx-t）²+4t³-3t+3，由于|t|≤1，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出g（t）；
②g′（t）=12t²-3=12(t+

1

2

)(t-

1

2

)．t∈（-1，1）．分別令g′（t）＞0，令g′（t）＜0，解得即可得出，進而判斷出極值．
（2）①f′（x）=a-3x²，由于f （x）=ax-x³在區(qū)間（0，

2

2

）內(nèi)是增函數(shù)，可得f′（x）≥0在區(qū)間（0，

2

2

）內(nèi)恒成立（不恒等于0），即a-3x²≥0，通過分離參數(shù)即可得出．
②f′（x）=a-3x²，對a分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．

解答： 解：（1）①f（x）=sin²x-2tsin2x+4t³+t²-3t+3
=（sinx-t）²+4t³-3t+3
∵|t|≤1，
∴當sinx=t時，f（x）取得最小值，∴g（t）=4t³-3t+3．
②g′（t）=12t²-3=12(t+

1

2

)(t-

1

2

)．t∈（-1，1）．
令g′（t）＞0，解得-1＜t＜-

1

2

，或

1

2

＜t＜1；令g′（t）＜0，解得-

1

2

＜t＜

1

2

．
∴函數(shù)g（t）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，-

1

2

)，(

1

2

，1)；單調(diào)遞減為(-

1

2

，

1

2

)．
∴當x=-

1

2

時，g（t）取得極大值，g(-

1

2

)=4；
當x=

1

2

時，g（t）取得極小值，g(

1

2

)=2．
（2）①f′（x）=a-3x²，
∴f （x）=ax-x³在區(qū)間（0，

2

2

）內(nèi)是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在區(qū)間（0，

2

2

）內(nèi)恒成立（不恒等于0），
∴a-3x²≥0，
即a≥（3x²）_max，x∈（0，

2

2

）．
∴a≥

3

2

．
∴實數(shù)a的取值范圍是[

3

2

，+∞)．
②f′（x）=a-3x²，
當a≤0時，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，無極值；
當a＞0時，f′（x）=-3(x+

a 3

)(x-

a 3

)，
令f′（x）＞0，解得x＞

a 3

或x＜-

a 3

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得-

a 3

＜x＜

a 3

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當x=

a 3

時，f（x）取得極小值為2，
∴a

a 3

-(

a 3

)3=2，
化為a

a 3

=3，
解得a=3．
∴a=3．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論的思想方法，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．