Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，且對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=ax-1-lnx可求得f′（x）=，對(duì)a分a≤0與a＞0討論f′（x）的符號(hào)，從而確定f（x）在其定義域（0，+∞）單調(diào)性與極值，可得答案；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx-2?1+-≥b，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+-，g（x）_min即為所求的b的值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax-1-lnx，
∴f′（x）=a-=，（1分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上沒(méi)有極值點(diǎn)；（3分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）≤0得 0＜x≤，f'（x）≥0得，
∴f（x）在（0，]上遞減，在[，+∞）上遞增，即f（x）在處有極小值．（5分）
∴當(dāng)a≤0時(shí)f（x）在（0，+∞）上沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴a=1，
∴f（x）≥bx-2?1+-≥b，（8分）
令g（x）=1+-，則g′（x）=--=-（2-lnx），
由g′（x）≥0得，x≥e²，由g′（x）≤0得，0＜x≤e²，
∴g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，（10分）
∴，即b≤1-．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問(wèn)題，著重考查分類(lèi)討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用，體現(xiàn)綜合分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力，屬于難題．