Question

如圖，過點(diǎn)的兩直線與拋物線相切于A、B兩點(diǎn)， AD、BC垂直于直線，垂足分別為D、C．

（1）若，求矩形ABCD面積；

（2）若，求矩形ABCD面積的最大值.

 

Answer 1

`（1）14；（2）.

【解析】

試題分析：（1） 設(shè)切點(diǎn)為 ,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出矩形ABCD的邊長(zhǎng).

（2） 設(shè)切點(diǎn)為 ,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo), 從而求出矩形ABCD的邊長(zhǎng),將矩形ABCD的面積S表示成的函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)判斷此函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確定其最值.

試題解析：【解析】
（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022606040071058755/SYS201502260604067888604711_DA/SYS201502260604067888604711_DA.006.png">，所以切線方程為，即

因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，所以，即，于是.

將代入得.

所以，所以矩形面積為.

（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022606040071058755/SYS201502260604067888604711_DA/SYS201502260604067888604711_DA.019.png">，所以切線方程為，即

因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，所以，即，于是.

將代入得.

（若設(shè)切線方程為，代入拋物線方程后由得到切點(diǎn)坐標(biāo)，亦予認(rèn)可.）

所以，所以矩形面積為，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故當(dāng)時(shí)，S有最大值為

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用.