Question

如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）取，若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）用線面垂直證，用等腰三角形中線即為高線證即，根據(jù)線面垂直得判定定理即可得證。（2）由（1）知平面，則為與平面所成的角。因?yàn)?/span>為定值，所以最短即最短時(shí)角的正弦值最大。故此時(shí)。故此可推導(dǎo)出的值，過(guò)作于，則平面，過(guò)作于，連接，則為二面角的平面角。也可采用空間向量法。

試題解析：【解析】
方法一：（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，
所以 1分
又，因此 2分
因?yàn)?/span>平面，平面，
所以 3分
而平面，平面，
所以平面 . 5分

（2）為上任意一點(diǎn)，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角 6分
在中，，

所以當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大 . 7分
此時(shí)， 因此
又，所以，
所以 8分

因?yàn)?/span>平面，平面，
所以平面平面
過(guò)作于，則平面，
過(guò)作于，連接，則為二面角的平面角， 10分
在中，

又是的中點(diǎn)，在中，

又 11分
在中，
即所求二面角的余弦值為。 13分

第二問(wèn)：方法二

（2）由（1）可知兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。

設(shè),則

（其中） 6分

面的法向量為

與平面所成最大角的正切值為 7分

的最大值為，

即在的最小值為，

函數(shù)對(duì)稱軸，

所以，計(jì)算可得 9分

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

因此，取，則 11分

為平面的一個(gè)法向量. 12分

所以

所以，所求二面角的余弦值為 13分

考點(diǎn)：1線面垂直；2線面角；3二面角。